अनंत श्रेणी {tan ^{ - 1}}left( {frac{2}{{1 - | vedclass

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Question

(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{{2r}}{{1

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$\frac{\pi}{2}$

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(B) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{2r}}{{1 - {r^2} + {r^4}}}} ight)$ है।हम तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{{2r}}{{1 + {r^4} - {r^2}}} = \frac{{\left( {{r^2} + r} ight) - \left( {{r^2} - r} ight)}}{{1 + \left( {{r^2} + r} ight)\left( {{r^2} - r} ight)}}$.सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x - {	an ^{ - 1}}y = {	an ^{ - 1}}\left( {\frac{{x - y}}{{1 + xy}}} ight)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:$T_r = {	an ^{ - 1}}\left( {{r^2} + r} ight) - {	an ^{ - 1}}\left( {{r^2} - r} ight)$.प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{r=1}^n [ {	an ^{ - 1}}(r^2+r) - {	an ^{ - 1}}(r^2-r) ]$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_n = ( {	an ^{ - 1}}2 - {	an ^{ - 1}}0 ) + ( {	an ^{ - 1}}6 - {	an ^{ - 1}}2 ) + \dots + ( {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - {	an ^{ - 1}}(n^2-n) )$.$S_n = {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - {	an ^{ - 1}}0$.जब $n 	o \infty$ हो,तब सीमा लेने पर:$S = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } {	an ^{ - 1}}(n^2+n) - 0 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

अनंत श्रेणी ${\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{{1 - {1^2} + {1^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{4}{{1 - {2^2} + {2^4}}}} \right) + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{6}{{1 - {3^2} + {3^4}}}} \right) + \dots$ का योग क्या है?

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कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

उस श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग क्या है,जिसका $k$-वां पद $k! \times k$ है?

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!$

$\sum\limits_{r = 1}^{100} {\frac{{\tan \,{2^{r - 1}}}}{{\cos \,{2^r}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n(n + 1)} = \dots$

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